Abstract
Optimalisering is van belang in veel wiskundige gebieden. Het doel van dit project is het vinden van nieuwe snelle methoden voor het oplossen van moeilijke problemen in de optimalisering. Het gaat hier om het zoeken van optimale objecten in een begrensde of onbegrensde verzameling. Bijvoorbeeld, wat is de kortste route langs de steden van Europa, of wat is de dichtste stapeling van even grote bollen? Ook als de verzameling begrensd is, kan het aantal mogelijkheden zo groot zijn dat expliciete enumeratie geen optie is. In het verleden werden methoden ontwikkeld die technieken gebruiken vanuit meetkunde, polyeders, lineaire programmering, etc. Semidefiniete programmering is een nieuwe, krachtige techniek die op veel problemen van de discrete wiskunde toegepast kan worden, ook in het breder verband van het optimaliseren van polynomen over semi-algebra\357sche verzamelingen. Ons project richt zich op de vele interacties tussen semidefiniete programmering, optimalisering en polynomen. Het onderzoeken van de nauwe banden tussen optimalisering en de representatietheorie van polynomen in de reële algebraïsche meetkunde, die David Hilbert in 1900 stichtte, is een kerndoel van ons project. Bovendien gebruiken we semidefiniete programmering voor het ontwikkelen van oplossingsmethoden voor problemen van combinatorische en meetkundige aard. Bijvoorbeeld, voor het optimaal kleuren van grafen, een moeilijk combinatorisch probleem met veel toepassingen, of voor het beperken van de dichtheid van verschillende stapelingsproblemen in meetkunde, waar representatietheorie van groepen en orthogonale polynomen ook een belangrijke rol spelen. Een speciaal stapelingsprobleem met een bijzonder rijke historie is het vinden van het kusgetal, d.w.z. het maximum aantal eenheidsbollen dat tegelijkertijd een centrale bol kan raken, zonder elkaar te overlappen. Isaac Newton en David Gregory voerden in 1684 een beroemd geworden discussie over het kusgetal in drie dimensies. Met onze methode kunnen we de beste bovengrenzen vinden voor het kusgetal in hogere dimensies.