Abstract
Veel systemen in de mathematische fysica en de technische wetenschappen worden wiskundig gemodelleerd met behulp van partiële differentiaalvergelijkingen. Zulke systemen zijn in de praktijk vaak onderhevig aan ruis of andere toevalsprocessen. In dit project wordt gepoogd een solide fundering te geven voor de wiskundige beschrijving van zulke systemen met ruis. In eerste instantie wordt de ongestoorde partiële differentiaalvergelijking met behulp van functionaalanalytische methoden gemodelleerd als een gewone differentiaalvergelijking in een oneindig-dimensionale toestandsruimte. Het beschrijven van de ruis en het bewijzen van het bestaan van oplossingen voor de resulterende vergelijking brengt echter fundamentele wiskundige problemen met zich mee die te maken hebben met de meetkundige structuur van oneindig-dimensionale ruimten. In de afgelopen decennia is veel onderzoek verricht aan het speciale geval dat de toestandsruimte een zogenaamde Hilbertruimte is. Dit zijn ruimten met een meetkundige structuur die veel lijkt op de eindig-dimensionale euclidische ruimten. Dankzij deze speciale structuur werken veel van de technieken uit de waarschijnlijkheidrekening ook in Hilbertruimten. Dit geldt in het bijzonder voor de theorie van stochastische integratie, een van de cruciale hulpmiddelen bij het bestuderen van vergelijkingen met ruis. In veel toepassingen is de natuurlijke keuze van de toestandsruimte echter geen Hilbertruimte, en ook bij meer aspecten zoals het onderzoek naar de regulariteit van oplossingen is dit kader te beperkend. Om de bestaande theorie uit te breiden naar een klasse van toestandsruimten, de zogenaamde Banachruimten, die groot genoeg is voor de zojuist genoemde doeleinden zullen geheel nieuwe wiskundige technieken ontwikkeld moeten worden, waarbij naar verwachting de meetkundige structuur van de Banachruimte een doorslaggevende rol zal spelen. Voor lineaire vergelijkingen zijn inmiddels goede resultaten behaald. Gepoogd zal worden deze uit te breiden naar algemenere typen vergelijkingen en zo te komen tot een dieper inzicht in de kwalitatieve eigenschappen van systemen met ruis.